Теорема о связи двойного и повторных пределов

Пусть: - $f(x, y)$ определена в $\dot{O}(x^{0}, y^{0})$ - Cуществует $\lim\limits_{(x,y)\to(x^0,y^0)} f(x, y) = A$ - $\forall{y \in \dot{O}(y^0)}$ существует $\lim\limits_{x \to x^0} f(x, y)$ Тогда существует $\lim\limits_{y \to y^0} \left(\lim\limits_{x \to x^0} f(x, y)\right) = A$

По условию $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta_{\varepsilon} > 0}\mathpunct{:}~~ 0 < \rho((x, y), (x^0, y^0)) < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |f(x, y) - A| < \dfrac{\varepsilon}{2}.$$ Перейдем к пределу в последнем неравенстве $$\left|\lim\limits_{x \to x^0} f(x, y) - A\right| \leq \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.$$ Эта оценка имеет место для всех $y$ из некоторой проколотой окрестности точки $y^0$, а это и есть требуемое равенство. $\square$